多項式の因数分解をマスターする

3. 三項式 (ax^2 + bx + c) の因数分解

三項式は3つの項を持つ多項式です。その因数分解の方法は、先頭の係数 a に依存します。

ケース1：先頭係数が1の場合 (a = 1)

三項式が x^2 + bx + c の形である場合、積が c になり、和が b になる2つの数を見つける必要があります。

例： 三項式 x^2 + 5x + 6 を因数分解します。

• 積が6で和が5になる2つの数が必要です。
• その数は2と3です（2 × 3 = 6 かつ 2 + 3 = 5 のため）。

結果： (x + 2)(x + 3)

ケース2：先頭係数が1でない場合 (a ≠ 1)

三項式が ax^2 + bx + c の形である場合、一般的な方法は「ACメソッド」です。

1. a と c を掛ける： a と c の積を求めます。
2. 2つの数を見つける： 積が ac になり、和が b になる2つの数を見つけます。
3. 中間項を書き直す： 見つけた2つの数を使って、中間項 bx を書き直します。
4. グループ化による因数分解： 前述のグループ化による因数分解方法を使用します。

例： 三項式 2x^2 + 7x + 3 を因数分解します。

1. a と c を掛ける：2 × 3 = 6。
2. 積が6で和が7になる2つの数を見つけます。その数は1と6です。
3. 中間項を書き直す：2x^2 + 1x + 6x + 3。
4. グループ化による因数分解：(2x^2 + x) + (6x + 3) = x(2x + 1) + 3(2x + 1)。

結果： (2x + 1)(x + 3)

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4. 特殊な因数分解の公式

特殊なパターンを認識することは、因数分解の近道になります。

平方の差

これは a^2 - b^2 の形の二項式に適用されます。

公式： a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

例： x^2 - 9 を因数分解します。

• これは a = x および b = 3 の場合の平方の差です。

結果： (x - 3)(x + 3)

立方の和

これは a^3 + b^3 の形の二項式に適用されます。

公式： a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

例： x^3 + 8 を因数分解します。

• これは a = x および b = 2 の場合の立方の和です。

結果： (x + 2)(x^2 - 2x + 4)

立方の差

これは a^3 - b^3 の形の二項式に適用されます。

公式： a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

例： y^3 - 27 を因数分解します。

• これは a = y および b = 3 の場合の立方の差です。

結果： (y - 3)(y^2 + 3y + 9)